自一九二九年秋季起至一九三五年期间，李子奇在故乡当地的小学接受基础教育。一九三六年二月，他正式加入陕北红军队伍，并于同年五月成为中国共产主义青年团的一员，随后不久即转为中国共产党正式党员。在此期间，他先后担任少先队全区总队长、共青团神木二区区委书记等职务，积极参与地方青年组织与建设工作。一九三七年至一九四三年间，他历任神府分区抗敌后援会秘书、子长县青年救国会组织科长、盐池县青年救国会主任以及三边地委青年救国会主任等职，致力于抗日救亡与青年动员工作。李子奇曾参加兰州大学百年校庆庆典。一九四四年至一九四九年，他先后出任吴旗县委副书记兼游击队队长，安边县委书记兼武装大队政治委员，在革命战争年代承担地方党政与军事领导职责。 新中国成立后，一九四九年九月至一九五四年秋，李子奇先后担任宁夏省中宁县委书记，中共宁夏省青年工作委员会书记，共青团宁夏省委书记兼宁夏师范学校校长，宁夏省体育运动委员会副主席，宁夏省教育厅党组书记、副厅长等职务，为宁夏地区青年工作、教育及体育事业发展贡献力量。一九五四年秋至一九六三年四月，他调任工业领域，历任白银有色金属公司党委第一副书记、副经理（其间于一九五五年九月至一九五七年底，赴苏联莫斯科有色金属学院冶金专业学习深造），后升任公司经理兼白银市委书记处书记，投身于国家重工业建设。 一九六三年五月至一九七八年底，由于历史原因，李子奇受到错误处理，被下放至白银公司石灰厂、农场等地进行劳动改造。直至一九七九年三月，“白银案件”得到彻底平反，他恢复工作，担任甘肃省轻工业局局长、党组书记。一九八二年九月，他以特邀代表身份参加中国共产党第十二次全国代表大会，并当选为中央委员。同年十月，出任中共甘肃省委副书记、省人民政府常务副省长。一九八三年三月至一九九零年十一月，他担任中共甘肃省委书记、甘肃省军区党委第一书记、政治委员，主持甘肃省全面工作。一九九零年十一月至一九九三年底，转任中共甘肃省顾问委员会主任。一九九三年一月，当选为中国人民政治协商会议第八届全国委员会常务委员。一九九八年三月，当选为第九届全国人民代表大会代表。二零零三年十二月，正式离职休养。李子奇同志是中国共产党第十二届、十三届中央委员会委员，并作为代表连续出席中国共产党第十四次至第十八次全国代表大会。
在他担任甘肃省委书记长达八年的任期内，全省广大干部群众紧密团结、共同努力，推动农业生产连续八年实现丰收，乡镇企业和城市集体经济取得了显著进展与长足进步。在此期间，中部干旱区域的二十个县基本解决了温饱问题，同时针对老区、少数民族地区、高寒及阴湿地带共计二十六个县开展了系统而深入的扶贫攻坚工作。他还为定西地区的水土保持治理、兰州南北两山的绿化建设、景电二期工程、引大入秦水利项目、白银公司的二次创业转型以及金川公司二期工程等众多关键事项与实事工程，付出了巨大心力并作出了不可磨灭的重要贡献。这些扎实的工作与成效，不仅在陇原大地上刻下了深刻的印记，也长久地留存在甘肃广大干部群众的记忆之中。原甘肃省委书记李子奇同志的相关工作与事迹，至今仍被广泛传颂与铭记。
二零一四年一月十一日，中国共产党优秀党员、忠诚的共产主义战士，曾担任中共甘肃省委书记及甘肃省顾问委员会主任等职务的李子奇同志，因长期患病，经多方全力救治无效，于上海不幸与世长辞，享年九十一岁。在李子奇同志病情加重及逝世后的相关时段内，中共中央有关领导同志分别通过多种形式向其家属表达了深切的关怀与慰问，并对李子奇同志的离世表示了沉痛的哀悼与缅怀。